Festigkeit, Drehmoment und Versagen

Bricht ein gedrucktes Bein, verbiegt es sich oder reißt es seine Schrauben aus? Diese Seite behandelt die Mechanik hinter dieser Frage: Drehmoment, Spannung und Dehnung, Biegung, Knickung, Verbindungen und Sicherheitsfaktoren. Jede Formel wird mit den eigenen Zahlen von Strido durchgerechnet. Dieselben Formeln laufen bei jeder Konstruktionsänderung als automatische Prüfung.

In Strido

Prüfung: python -m strido_verify.strength (Teil von make verify) berechnet 19 Prüfungen aus den gedruckten STLs, der Beingeometrie und dem Passungsbericht; Ergebnisse im Festigkeitsbericht. Eingaben: hardware/strength.yaml (Lasten, PETG- und Schraubendaten mit Quellen). Entscheidung: ADR-010: das Knicken der langen Koppel, einst die eine bekannte Schwachstelle, ist mit der steifen langen Koppel behoben (keine Prüfung braucht mehr eine Ausnahme). Die Ergebnisse jedes Teils stehen auf seiner Seite im Druckpaket und im Shop. Die Kräfte in den Beinen stammen aus Statik und Dynamik.

Drehmoment: Kraft mal Hebel

Ein Drehmoment $T$ (englisch torque) ist eine Kraft $F$, die im Abstand $r$ von einer Achse wirkt. Nur der Kraftanteil im rechten Winkel zum Hebel dreht die Achse. Mit $\alpha$ als Winkel zwischen Hebel und Kraft:

$$T=rF\sin \alpha [\mathrm{N}\mathrm{m}]=[\mathrm{m}]\cdot [\mathrm{N}]$$

In Vektorform ist das das Kreuzprodukt $\mathbf{T}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}$. Servo-Datenblätter geben das Drehmoment in kg·cm an: das Gewicht von 1 kg, das 1 cm von der Achse entfernt hängt. Mit $g=9.81\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$:

$$35\mathrm{kg}\mathrm{cm}=35\cdot 9.81\mathrm{N}\cdot 0.01\mathrm{m}=3.43\mathrm{N}\mathrm{m}\text{(SPT5435LV at 6.0 V, stall)}$$

Rückwärts gelesen liefert dieselbe Formel die Kraft, die ein Servo über einen Arm drücken kann. Das Armhorn des Knieantriebs hat $r=24\mathrm{mm}$:

$$F=\frac{T}{r\sin \alpha }=\frac{3.43\mathrm{N}\mathrm{m}}{0.024\mathrm{m}\cdot 1.0}=143\mathrm{N}(\alpha ={90}^{\circ }),\frac{3.43}{0.024\cdot 0.68}=211\mathrm{N}\text{(worst angle within the joint limits)}$$

Kleine Hebel und flache Winkel machen aus moderaten Drehmomenten große Kräfte. Für $\alpha \to 0$ wächst die Kraft unbegrenzt: Das ist der Totpunkt (Kniehebel) eines Koppelgetriebes. Die Prüfung durchläuft jede Stellung innerhalb der Gelenkgrenzen und behält die größte Kraft.

Woher die Lasten kommen

1. Gewicht und Landungen. Der Roboter wiegt $mg=3.07\cdot 9.81=30.1\mathrm{N}$. Im Trot trägt ihn ein diagonales Fußpaar. Eine harte Landung vervielfacht die Kraft um einen Stoßfaktor $k$. Die Prüfung nimmt $k=3$ auf zwei Füßen an:

$$F_{\text{foot}}=\frac{kmg}{2}=\frac{3\cdot 30.1}{2}=45.2\mathrm{N}$$

(eine Annahme; gemessene trabende Hunde erreichen Spitzen von etwa 1–1,2 × ihres Gewichts pro Vorderbein).

2. Die Servos selbst. Jedes Servo drückt höchstens mit seinem Blockiermoment $T_{\text{stall}}$, und das ist die Auslegungslast für die Gelenke. Eine Landung würde $F_{\text{foot}}{L}_{\text{tibia}}=45.2\cdot 0.124=5.6\mathrm{N}\mathrm{m}$ am Knie erfordern. Das Knieservo bringt dort nur $3.07\mathrm{N}\mathrm{m}$ auf, also gibt das Knie nach und das Servo wird rückwärts angetrieben. Ein Getriebeservo rückwärts anzutreiben erfordert allerdings mehr als sein Blockiermoment. Mit den Getriebewirkungsgraden vorwärts und rückwärts ${\eta }_f$ und ${\eta }_r$ sind es etwa $T_{\text{stall}}/({\eta }_f{\eta }_r)$, rund 1,5–3 × (eine Schätzung). Harte Stöße können daher die Auslegungslasten überschreiten, und die Sicherheitsfaktoren müssen das abdecken. Bolzen und Lager tragen die volle Landekraft entlang des Beins.

Spannung und Dehnung

Die Last auf einem Teil verteilt sich über seinen Querschnitt. Spannung $\sigma$ ist Kraft pro Fläche, in $\mathrm{N}/{\mathrm{mm}}^2=\mathrm{MPa}$. Dehnung $\epsilon$ ist die relative Verlängerung $\mathrm{\Delta }L/L$. Bei kleinen Dehnungen sind die meisten Werkstoffe linear-elastisch (Hookesches Gesetz), mit dem Elastizitätsmodul $E$:

$$\sigma =\frac{F}{A},\epsilon =\frac{\mathrm{\Delta }L}{L},\sigma =E\epsilon$$

PETG hat $E\approx 1.5\mathrm{GPa}$ und fließt bei etwa $47\mathrm{MPa}$; nach dem Hookeschen Gesetz läge das bei $\epsilon =47/1500\approx 3\mathrm{\%}$, das Datenblatt misst $5\mathrm{\%}$, weil PETG vor dem Fließen weicher wird. Stahl hat $E\approx 200\mathrm{GPa}$ und dehnt sich bei gleicher Spannung daher 130-mal weniger. Oberhalb der Streckgrenze verformt sich das Teil bleibend. Oberhalb der Zugfestigkeit bricht es.

Reale Teile tragen mehrere Spannungen gleichzeitig (Zug, Biegung, Schub). Die Vergleichsspannung nach von Mises fasst sie zu einer Zahl zusammen, die mit der Zug-Streckgrenze verglichen wird. Für Normalspannung $\sigma$ plus Schub $\tau$:

$${\sigma }_{\text{v}}=\sqrt{{\sigma }^2+3{\tau }^2}\Rightarrow {\tau }_{\text{allow}}=\frac{{\sigma }_{\text{allow}}}{\sqrt{3}}\approx 0.577{\sigma }_{\text{allow}}$$

Biegung

Ein durch ein Moment $M$ gebogener Balken wird auf einer Seite gedehnt und auf der anderen gestaucht. Die Spannung wächst linear von der neutralen Faser (Spannung null) bis zur äußersten Faser im Abstand $c$. Die Euler-Bernoulli-Balkentheorie ergibt:

$$\sigma (y)=\frac{My}{I},{\sigma }_{\text{max}}=\frac{Mc}{I}=\frac{M}{W},I={\int }_A{y}^2\mathrm{d}A,W=\frac{I}{c}$$

$I$ ist das Flächenträgheitsmoment: Es misst, wie weit das Material von der neutralen Faser entfernt liegt. $W$ ist das Widerstandsmoment. Für ein massives Rechteck der Breite $b$ und Höhe $h$, gebogen über $h$:

$$I=\frac{b{h}^3}{12},W=\frac{b{h}^2}{6}$$

Die Höhe geht mit der dritten Potenz ein: Doppelte Höhe macht eine Koppel 8-mal steifer und 4-mal biegefester. Deshalb legen I-Träger ihr Material weit weg von der Mitte.

Gedruckte Teile sind überwiegend Schalen. Das Slicer-Profil druckt 3 Perimeter (1,2 mm) und nur 30 % Gyroid-Füllung. Die Prüfung berechnet $I$ und $W$ nur für die 1,2-mm-Wände und ignoriert die Füllung, was konservativ ist. Sie nimmt 41 Schnitte entlang jeder Koppel und verwendet den schwächsten. Beispiel: Der schwächste Schnitt des Femurs hat $W=236{\mathrm{mm}}^3$ in der Beinebene, und das Oberschenkelservo bringt $M=3430\mathrm{N}\mathrm{mm}$ auf:

$$\sigma =\frac{3430\mathrm{N}\mathrm{mm}}{236{\mathrm{mm}}^3}=14.5\mathrm{MPa},S=\frac{47}{14.5}=3.2$$

Gedruckter Kunststoff ist anisotrop

Ein FDM-Teil ist ein Stapel verschweißter Schichten. Das PETG-Datenblatt von Prusament gibt an:

Richtung	Festigkeit
Entlang der Schichten (flach gedruckt)	$47\mathrm{MPa}$ Zug-Streckgrenze
Quer zu den Schichten (Schichthaftung)	$18\pm 4\mathrm{MPa}$

Gedruckte Teile versagen meist dadurch, dass Schichten auseinandergezogen werden. Sie reißen (englisch tear) entlang einer Schichtlinie, oft an einer scharfen Ecke, an der sich die Spannung konzentriert. Deshalb legt die Druckliste die Koppeln, Femurs und Tibias flach. Ihre Biegespannung verläuft dann entlang der Schichten. Die Prüfung verwendet $47\mathrm{MPa}$, wenn eine Koppel flach liegt, und $18\mathrm{MPa}$, wenn ihre Längsachse in der Druckausrichtung nach oben zeigt.

Sicherheitsfaktor

$$S=\frac{\text{allowable}}{\text{actual}}$$

Die Prüfung schlägt unter $S=1.5$ fehl und warnt unter $2.0$. Die FDM-Festigkeit streut von Drucker zu Drucker, und PETG kriecht unter Dauerlast. Wiederholte Belastung verursacht außerdem Ermüdung: Millionen Schritte bei einer Spannung weit unter der statischen Festigkeit können einen Riss wachsen lassen. Nichts davon steckt in einer statischen Rechnung, also deckt es die Reserve ab. Am Roboter sind die kleinsten Faktoren die Tibia-Hälften ($S=2.2$) und das Knicken der langen Koppel ($S=2.5$, nächster Abschnitt), das bis zur Neukonstruktion der Koppel weit unter allem anderen lag.

Knickung

Ein schlanker Stab unter Druck wird nicht zerquetscht. Er weicht plötzlich seitlich aus, sobald die Kraft die Eulersche Knicklast erreicht. Der ausgelenkte Stab ist im Gleichgewicht, wenn $EI{w}^{″}+Fw=0$. Die kleinste von null verschiedene Lösung dieser Gleichung ergibt:

$$F_{\text{cr}}=\frac{{\pi }^{2}EI}{(KL{)}^2}$$

$L$ ist der Bolzenabstand und $K$ der Knicklängenbeiwert der Randbedingungen: $1.0$ für gelenkige Enden, $0.5$ für eingespannte Enden, $0.7$ für je eines davon. Unterhalb von $F_{\text{cr}}$ passiert nichts Sichtbares. Bei $F_{\text{cr}}$ verliert der Stab seine Steifigkeit gegen seitliche Auslenkung.

Die lange Upstream-Kniekoppel ist ein Stab, $5\mathrm{mm}$ breit in der Beinebene und $8\mathrm{mm}$ quer dazu, mit $130\mathrm{mm}$ zwischen den Bolzen. In der Beinebene drehen sich ihre Enden frei auf Bolzen ($K=1$), und ihre Wände ergeben $I\approx 75{\mathrm{mm}}^4$:

$$F_{\text{cr}}=\frac{{\pi }^2\cdot 1500\mathrm{MPa}\cdot 75{\mathrm{mm}}^4}{(130\mathrm{mm}{)}^2}\approx 65\mathrm{N}{F}_{\text{knee servo, worst pose}}=192\mathrm{N}S\approx 0.34$$

Damit war sie mit Abstand die schwächste Stelle des Roboters. Im Stand belastet es sie mit etwa $0.70\mathrm{N}\mathrm{m}/(0.024\mathrm{m}\cdot \sin {86}^{\circ })\approx 29\mathrm{N}$ ($S\approx 2.2$; siehe Statik und Dynamik), im normalen Gehen hielt sie also, aber ein Knie, das im Blockierzustand gegen einen blockierten Fuß oder einen harten Anschlag drückt, biegt sie seitlich aus (ADR-010).

Weil $I\propto h^3$ gilt, bringt Breite in der Beinebene die Steifigkeit. Strido druckt deshalb eine steife lange Koppel (stiff_long_link): gleiche Bolzen und Buchsenaugen, aber ein Schaft von $10\times 10\mathrm{mm}$. Nur mit $1.2\mathrm{mm}$ Wänden ergibt ein Hohlquadrat $I=({10}^4-{7.6}^4)/12\approx 555{\mathrm{mm}}^4$, mehr als das Siebenfache des Upstream-Stabs:

$$F_{\text{cr}}=\frac{{\pi }^2\cdot 1500\mathrm{MPa}\cdot 555{\mathrm{mm}}^4}{(131\mathrm{mm}{)}^2}\approx 480\mathrm{N}S\approx \frac{480}{192}\approx 2.5$$

Die Prüfung misst die gedruckte STL Schnitt für Schnitt und meldet $S=2.53$. Ein breiteres Teil braucht auch Platz: mittig auf der Bolzenlinie kam die Koppel dem Femur bei gestrecktem Knie bis auf $0.25\mathrm{mm}$ nahe, daher liegt ihr Schaft $2\mathrm{mm}$ neben der Bolzenlinie, vom Femur weg. Jeder Nachbar behält mindestens $1\mathrm{mm}$, und die Gelenkgrenzen haben sich nicht geändert.

Schrauben unter Schub und in gedruckten Bohrungen

Eine Schraube, die zwei Teile klemmt, die aneinander vorbeigleiten wollen, wird auf Schub belastet. Die Spannung verteilt sich über den Spannungsquerschnitt $A_s$ ($5.03{\mathrm{mm}}^2$ für M3). Wenn ein Drehmoment $T$ von $n$ Schrauben auf einem Lochkreis mit Radius $r$ getragen wird:

$$F=\frac{T}{nr},\tau =\frac{F}{A_s}$$

Die Edelstahlschrauben DIN 912 A2-70 des Sortiments haben eine Streckgrenze von $R_{p0.2}=450\mathrm{MPa}$, also ${\tau }_{\text{allow}}=0.577\cdot 450=260\mathrm{MPa}$. Der Femur ist mit $4\times$ M3 auf $r=7\mathrm{mm}$ an sein Horn geschraubt:

$$F=\frac{3.43}{4\cdot 0.007}=122\mathrm{N},\tau =\frac{122}{5.03}=24\mathrm{MPa},S=10.7$$

Die Schraube ist selten das Problem. Der Kunststoff um sie herum schon. Die Lochleibung ist die Kraft über der projizierten Fläche der Bohrung (Durchmesser $d$, Materialdicke $t$):

$$p=\frac{F}{dt}$$

Für die Hornschrauben der Hüfte in der Servohalterung sind das $17.9\mathrm{MPa}$ gegenüber $47\mathrm{MPa}$ ($S=2.6$), der niedrigste Wert der Schraubverbindungen.

Ausreißen und Anziehdrehmoment

Eine gewindeformende Schraube in einer gedruckten Vorbohrung hält über das Kunststoffgewinde, das sie schneidet. Wird stark genug gezogen, schert sie einen Kunststoffzylinder heraus (ausreißen) mit Durchmesser $d$ und Einschraublänge $L_e$. Die Scherfestigkeit quer zu den Schichten beträgt $\tau =0.577\cdot 18=10.4\mathrm{MPa}$:

$$F_{\text{pull}}=\tau \pi d{L}_e$$

Das Anziehen wandelt Drehmoment in axiale Vorspannkraft um. Der größte Teil des Drehmoments geht in Reibung im Gewinde und unter dem Kopf. Der Mutternfaktor $k$ (etwa 0,2 für trockene Edelstahlgewinde) fasst all das in einer Zahl zusammen:

$$T=kFd$$

Jede gedruckte Vorbohrung hat also ein Drehmoment, bei dem sie ausreißt. Beispiel: Die Schrauben der Knieachse greifen $L_e=4.0\mathrm{mm}$ in den Femur ein:

$$F_{\text{pull}}=10.4\cdot \pi \cdot 3\cdot 4=392\mathrm{N},T_{\text{strip}}=0.2\cdot 392\mathrm{N}\cdot 0.003\mathrm{m}=0.24\mathrm{N}\mathrm{m}$$

Ziehen Sie höchstens mit der Hälfte davon an, etwa $0.12\mathrm{N}\mathrm{m}$. Das ist eine sanfte Zwei-Finger-Drehung am kurzen Arm eines 2,5-mm-Innensechskantschlüssels: satt, nicht fest. Der Festigkeitsbericht listet die Grenze für jede gedruckte Vorbohrung (0,05–0,35 N·m). Zum Vergleich: Eine M3-A2-70-Schraube in einer Stahlmutter verträgt bis etwa $1.26\mathrm{N}\mathrm{m}$ (Bossard, $\mu =0.2$), zehnmal mehr.

Lager

Kugellager haben eine statische Tragzahl $C_0$: die Last, bei der die Laufbahnen bleibend eingedrückt werden. Der statische Sicherheitsfaktor ist $S_0=C_0/F_r$. Die beiden Kniegelenklager teilen sich die Kniekraft (237 N: Landung plus die größte Koppelkraft). Jedes 633ZZ sieht daher $118\mathrm{N}$ gegenüber $C_0=490\mathrm{N}$ (Koyo), $S_0=4.2$.

Drehende Lager verschleißen außerdem durch Ermüdung. Ihre nominelle Lebensdauer in Millionen Umdrehungen folgt aus der dynamischen Tragzahl $C$ und der äquivalenten Last $P$:

$$L_{10}={\left(\frac{C}{P}\right)}^3[{10}^6\text{revolutions}]$$

90 % der Lager erreichen diese Lebensdauer. Die Kniegelenke schwingen nur über einen kleinen Winkel, daher zählt hier die statische Tragzahl mehr. Für die No-Name-Lager des Sortiments wird angenommen, dass sie nicht besser sind als die Tragzahlen der Markenlager.

Prüfen Sie sich selbst

1. Ein Servo ist mit 25 kg·cm angegeben. Welche Kraft kann es im rechten Winkel über einen 20-mm-Arm drücken?
2. Warum liegt eine gedruckte Koppel flach auf dem Druckbett, statt aufrecht zu stehen?
3. Sie machen eine Koppel 1,5 × dicker. Wie ändern sich ihre Biegefestigkeit und ihre Knicklast?
4. Was begrenzt das Biegemoment in den Beinen, die Landung oder das Servo?
5. Eine Vorbohrung fasst 6 mm einer M3-Schraube. Wie groß ist nach der Regel dieser Seite das maximale Anziehdrehmoment?

Antworten

1. $T=25\cdot 9.81\cdot 0.01=2.45\mathrm{N}\mathrm{m}$; $F=2.45/0.020=123\mathrm{N}$.
2. Damit die Biegespannung entlang der Schichten ($47\mathrm{MPa}$) verläuft statt quer zu ihnen ($18\mathrm{MPa}$ Schichthaftung).
3. Biegung über diese Dicke: $W\propto h^2$, also $2.25\times$. Knickung darüber: $I\propto h^3$, also $3.4\times$.
4. Das Blockiermoment des Servos ist die Auslegungslast: Darüber gibt das Knie nach. Ein Getriebeservo rückwärts anzutreiben erfordert mehr als sein Blockiermoment, daher können harte Stöße die Auslegungslast überschreiten; Bolzen und Lager sehen immer die volle Landekraft.
5. $F=10.4\cdot \pi \cdot 3\cdot 6=588\mathrm{N}$; $T_{\text{strip}}=0.2\cdot 588\cdot 0.003=0.35\mathrm{N}\mathrm{m}$; ziehen Sie mit höchstens etwa $0.18\mathrm{N}\mathrm{m}$ an.

Weiterführende Literatur

• R. C. Hibbeler, Mechanics of Materials: Spannung, Biegung, Knickung, die Lehrbuchbehandlung jeder Formel oben.
• Technisches Datenblatt Prusament PETG: die hier verwendeten Werte für gedruckte Zugfestigkeit und Schichthaftung.
• Bossard: Vorspannkraft und Anziehdrehmomente (VDI 2230).
• SKF-Rillenkugellager: Tragzahlen, statische Sicherheit und nominelle Lebensdauer.
• Verwandt in diesem Wiki: Statik und Dynamik, Befestigungselemente, 3D-Druck, Mechanik und Lager, Servos.