Statik und Dynamik

Die Statik fragt, welche Gelenkmomente eine Last ruhig halten. Die Dynamik ergänzt die Momente, die Massen beschleunigen. Zusammen zeigen sie, ob ein Servo stark genug ist und wie stark jedes Teil belastet wird. Diese Seite leitet $\mathit{\tau }={\mathbf{J}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{F}$ aus der virtuellen Arbeit her, erklärt die Hebelwirkung des Strido-Knie-Koppelgetriebes und vergleicht das Moment, das der Roboter braucht, mit dem Moment, das seine Servos liefern können.

In Strido

• Servogrenzen: SPT5435LV-180W, Blockiermoment $3.43\mathrm{N}\mathrm{m}$ bei $6\mathrm{V}$ (hardware/strength.yaml), Leerlaufgeschwindigkeit $0.14\mathrm{s}/{60}^{\circ }$ (Servos).
• Masse: $3.07\mathrm{kg}$ inklusive Akku und Kabelbaum; Massen pro Link in ros2/strido_description/config/mass_report.yaml.
• Koppelkräfte: packages/strido-verify/src/strido_verify/strength.py durchfährt das Knie-Koppelgetriebe bei Blockiermoment. Die Ergebnisse stehen in docs/verification/data/strength.json, erklärt unter Festigkeit.
• Simulation: MuJoCo begrenzt jeden Aktuator auf $\pm 3.432\mathrm{N}\mathrm{m}$ (models/mujoco/strido.xml).

Virtuelle Arbeit und $\mathit{\tau }={\mathbf{J}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{F}$

Angenommen, der Fuß drückt mit der Kraft $\mathbf{F}$ auf den Boden, und der Boden drückt mit $-\mathbf{F}$ zurück. Halten Sie das Bein still und stellen Sie sich eine winzige Gelenkbewegung $\delta \mathbf{q}$ vor. Der Fuß bewegt sich um $\delta \mathbf{p}=\mathbf{J}\delta \mathbf{q}$ (siehe Kinematik). Im Gleichgewicht und ohne Reibung ist die von den Gelenken verrichtete Arbeit gleich der am Fuß abgegebenen Arbeit:

$${\mathit{\tau }}^{\mathrm{\top }}\delta \mathbf{q}={\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }}\delta \mathbf{p}={\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{J}\delta \mathbf{q}$$

Dies muss für jedes $\delta \mathbf{q}$ gelten, also:

$$\mathit{\tau }={\mathbf{J}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{F}$$

Zwei Folgerungen:

• In einer Singularität verliert $\mathbf{J}$ an Rang. Manche Fußkräfte benötigen dann überhaupt kein Gelenkmoment: Ein gestrecktes Bein trägt eine Last entlang seiner Länge „auf den Knochen“. Gleichzeitig kann das Bein in der verlorenen Richtung nicht drücken.
• Geschwindigkeitsübersetzung und Kraftübersetzung stehen im Gegensatz. Wo ein Gelenk den Fuß schnell bewegt (große Jacobi-Einträge), drückt es schwach, und umgekehrt.

Dasselbe Argument gilt für jeden Mechanismus mit einem Eingang und einem Ausgang. Ändert sich der Ausgangswinkel um $\delta {\theta }_{\text{out}}=G\delta {\theta }_{\text{in}}$, dann ist das Ausgangsmoment ${\tau }_{\text{out}}={\tau }_{\text{in}}/G$.

Mechanischer Vorteil des Knieantriebs

Der Knieservo erreicht die Tibia über zwei Koppelgetriebe (siehe Kinematik). Bei einer Koppel, die die Kraft $F$ entlang ihrer Länge trägt, wirkt nur der senkrechte Anteil von $F$ auf eine Kurbel mit Radius $r$:

$$\tau =Fr\sin \alpha$$

Dabei ist $\alpha$ der Winkel zwischen Kurbel und Koppel. strength.py verkettet diese Regel durch den Antrieb:

$$F_{\text{short}}=\frac{{\tau }_{\text{servo}}}{r_{\text{arm}}\sin \alpha },{\tau }_{\text{crank}}=F_{\text{short}}{r}_{\text{crank,a}}\sin {\alpha }^{\prime },F_{\text{long}}=\frac{{\tau }_{\text{crank}}}{r_{\text{crank,b}}\sin \beta },{\tau }_{\text{knee}}=F_{\text{long}}{r}_{\text{knee}}\sin \gamma$$

• Parallelogramm. Gegenüberliegende Seiten sind gleich ($r_{\text{arm}}=r_{\text{crank,a}}=24.0\mathrm{mm}$), also ${\alpha }^{\prime }=\alpha$ und ${\tau }_{\text{crank}}={\tau }_{\text{servo}}$. Das Verhältnis ist $1:1$. Die Koppelkraft $F_{\text{short}}$ wächst jedoch mit $1/\sin \alpha$.
• Viergelenk. Das Momentenverhältnis ist$$\frac{{\tau }_{\text{knee}}}{{\tau }_{\text{crank}}}=\frac{r_{\text{knee}}\sin \gamma }{r_{\text{crank,b}}\sin \beta }$$und es ändert sich mit der Pose. Nähert sich der Übertragungswinkel $\beta$ oder $\gamma$ $0$ oder ${180}^{\circ }$, werden die Kräfte sehr groß oder der Antrieb verliert jede Hebelwirkung. Deshalb verlangen die Gelenkgrenzen mindestens ${25}^{\circ }$ (hardware/joint_limits.yaml).

Beim Durchfahren aller Posen innerhalb der Grenzen mit dem Knieservo bei Blockiermoment sind die ungünstigsten Fälle (docs/verification/data/strength.json) $211\mathrm{N}$ in der kurzen Koppel, $192\mathrm{N}$ in der langen Koppel und $3.07\mathrm{N}\mathrm{m}$ am Knie.

Dynamik: Trägheit und Newton–Euler

Bewegte Körper brauchen mehr Moment. Für einen einzelnen starren Körper lauten die Newton–Euler-Gleichungen:

$$\mathbf{F}=m\ddot{\mathbf{c}},{\mathit{\tau }}_c={\mathbf{I}}_c\dot{\mathit{\omega }}+\mathit{\omega }\times {\mathbf{I}}_c\mathit{\omega }$$

Dabei ist $\mathbf{c}$ der Schwerpunkt und ${\mathbf{I}}_c$ der $3\times 3$-Trägheitstensor um ihn. Für einen Link, der sich um eine feste Achse dreht, liefert der Satz von Steiner die Trägheit um die Achse, $I=I_c+m{r}_c^2$, mit $r_c$ als Abstand von der Achse zum Schwerpunkt. Dann gilt $\tau =I\ddot{\theta }$.

Die Verkettung von Newton–Euler über alle Links ergibt die Standard-Manipulatorgleichung:

$$\mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}}+\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{g}(\mathbf{q})=\mathit{\tau }+{\mathbf{J}}^{\mathrm{\top }}{\mathbf{F}}_{\text{ext}}$$

Die Terme sind: die Massenmatrix $\mathbf{M}$, die Coriolis- und Zentrifugalterme $\mathbf{C}$, die Schwerkraft $\mathbf{g}$ und die Kontaktkräfte über ${\mathbf{J}}^{\mathrm{\top }}$. MuJoCo löst genau dies alle $2\mathrm{ms}$. Jedes Strido-Gelenk erhält außerdem armature="0.012" ($\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$) auf seiner Diagonale von $\mathbf{M}$. Die Armature modelliert das Getriebe: Ein Rotor mit Trägheit $I_r$ hinter einer Untersetzung $N$ erscheint am Ausgang als $N^2{I}_r$.

Leistung und die Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie

Die mechanische Leistung ist $P=\tau \omega$. Ein DC-Servomotor folgt grob einer geraden Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie. Er liefert das volle Blockiermoment ${\tau }_s$ bei Drehzahl null und kein Moment bei der Leerlaufgeschwindigkeit ${\omega }_0$:

$$\tau (\omega )\approx {\tau }_s(1-\frac{\omega }{{\omega }_0})\Rightarrow P(\omega )={\tau }_s\omega (1-\frac{\omega }{{\omega }_0}),P_{max}=\frac{{\tau }_s{\omega }_0}{4}\text{at}\omega =\frac{{\omega }_0}{2}$$

Für den SPT5435LV bei $6\mathrm{V}$:

$${\omega }_0=\frac{\pi /3}{0.14\mathrm{s}}=7.48\mathrm{rad}/\mathrm{s},P_{max}\approx \frac{3.43\cdot 7.48}{4}=6.4\mathrm{W}$$

Die lineare Kennlinie ist ein Modell; das Datenblatt nennt nur die beiden Endpunkte. Ein Servo kann volles Moment oder volle Geschwindigkeit liefern, nie beides zugleich. Die Firmware begrenzt die Gelenkgeschwindigkeit auf $6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (MAX_JOINT_SPEED_RAD_S in strido/policy.py, gespiegelt von safety.h). Bei dieser Geschwindigkeit lässt die Kennlinie nur etwa $3.43(1-6/7.48)\approx 0.68\mathrm{N}\mathrm{m}$ übrig.

Rechenbeispiel: Halten der Standpose

In der Standpose ($q_2={46.5}^{\circ }$, $q_3=-{96.0}^{\circ }$, Fuß direkt unter der Hüfte, $0.17\mathrm{m}$ tiefer) ist die ebene Jacobi-Matrix (siehe Kinematik):

$${\mathbf{J}}_{\text{plane}}=\left[\begin{array}{cc}-0.170& -0.0806\\ 0& -0.0943\end{array}\right]\mathrm{m}/\mathrm{rad}$$

Mit vier Füßen am Boden trägt jeder Fuß ein Viertel des Gewichts:

$$F_v=\frac{3.07\cdot 9.81}{4}=7.53\mathrm{N}$$

Der Fuß drückt auf den Boden, also gilt mit obiger Konvention $\mathbf{F}=(0,-7.53)\mathrm{N}$ in $(u,v)$ (der Boden drückt mit $+7.53\mathrm{N}$ zurück). Die Gelenkmomente, die ihn halten, sind:

$$\mathit{\tau }={\mathbf{J}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{F}=\left[\begin{array}{cc}-0.170& 0\\ -0.0806& -0.0943\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ -7.53\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.71\end{array}\right]\mathrm{N}\mathrm{m}$$

Der Oberschenkel braucht kein Moment, weil der Fuß direkt unter seinem Drehpunkt steht und die Last durch das Gelenk geht. Das Knie braucht $+0.71\mathrm{N}\mathrm{m}$, passend zu MuJoCo, wo der Knieaktuator vorne links die Standpose mit $0.688\mathrm{N}\mathrm{m}$ hält (siehe auch Servos).

Über das Viergelenk gilt in dieser Pose $\partial q_3/\partial \psi =-1.12$. Die virtuelle Arbeit liefert dann das Moment des Knieservos:

$${\tau }_{\psi }={\tau }_{q_3}\frac{\partial q_3}{\partial \psi }=0.71\cdot 1.12=0.80\mathrm{N}\mathrm{m}$$

Zur Gegenprobe ergibt die Hebelarmregel mit den Übertragungswinkeln ${84}^{\circ }$ und ${86}^{\circ }$ ein Verhältnis von $\frac{24.0\sin {86}^{\circ }}{26.9\sin {84}^{\circ }}=0.89\approx 1/1.12$. Die $0.80\mathrm{N}\mathrm{m}$ des Knieservos sind etwa $23\mathrm{\%}$ seines Blockiermoments von $3.43\mathrm{N}\mathrm{m}$. Ein Trot legt das Gewicht auf zwei statt vier Füße und verdoppelt die Last grob auf etwa $1.6\mathrm{N}\mathrm{m}$, was immer noch etwa einen Faktor zwei für Beschleunigungen und Stolperer lässt.

Dynamikprüfung. Der Unterschenkel wiegt $0.0521\mathrm{kg}$, sein Schwerpunkt liegt etwa $48\mathrm{mm}$ vom Knie entfernt. Das ergibt $m{r}_c^2\approx 1.2\times {10}^{-4}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$; mit der Eigenträgheit des Unterschenkels um seinen Schwerpunkt ($1.5\times {10}^{-4}$, mass_report.yaml) sieht das Knie etwa $2.7\times {10}^{-4}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$, grob $1/44$ der modellierten Armature. Das Schwingen eines leichten Beins ist daher durch die Geschwindigkeit und den eigenen Rotor des Servos begrenzt, nicht durch die Trägheit des Links.

Landung. strength.py nimmt eine harte Landung mit dem $3\times$-fachen Körpergewicht auf einem diagonalen Paar an:

$$F=\frac{3\cdot 3.07\cdot 9.81}{2}=45.2\mathrm{N}$$

pro Fuß. An der $124\mathrm{mm}$ langen Tibia sind das $5.60\mathrm{N}\mathrm{m}$ am Knie, mehr als das Blockiermoment. Eine Landung treibt den Servo also rückwärts, und die gedruckten Teile müssen das aushalten. Siehe Festigkeit.

Selbsttest

1. Leiten Sie $\mathit{\tau }={\mathbf{J}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{F}$ in einer Zeile aus der virtuellen Arbeit her.
2. Warum ändert das Parallelogramm das Moment nicht, kann aber trotzdem die kurze Koppel überlasten?
3. Warum braucht der Oberschenkel in der Standpose fast kein Moment?
4. Kann der Servo $3.43\mathrm{N}\mathrm{m}$ liefern, während er sich mit $6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ dreht?

Antworten

1. ${\mathit{\tau }}^{\mathrm{\top }}\delta \mathbf{q}={\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{J}\delta \mathbf{q}$ für alle $\delta \mathbf{q}$, also $\mathit{\tau }={\mathbf{J}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{F}$.
2. Seine Eingangs- und Ausgangskurbel sind gleich, daher kürzen sich die $\sin \alpha$-Terme im Momentenverhältnis. Die Koppelkraft ist jedoch $\tau /(r\sin \alpha )$ und wächst für $\alpha \to 0$ unbegrenzt.
3. Der Fuß liegt direkt unter dem Oberschenkel-Drehpunkt ($u=0$), daher hat die vertikale Kraft um ihn keinen Hebelarm. In der Jacobi-Matrix gilt $J_{21}=0$.
4. Nein. Im linearen Modell bleiben bei $6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ etwa $0.7\mathrm{N}\mathrm{m}$ übrig. Das Blockiermoment gibt es nur bei Drehzahl null.

Weiterführende Literatur

• K. M. Lynch und F. C. Park, Modern Robotics, Cambridge University Press, 2017, Kap. 5.2 (Statik) und Kap. 8 (Dynamik offener Ketten).
• R. Featherstone, Rigid Body Dynamics Algorithms, Springer, 2008.
• B. Siciliano et al., Robotics: Modelling, Planning and Control, Springer, 2009, Kap. 3.8 und 7.
• R. L. Norton, Design of Machinery, McGraw-Hill (Kraftanalyse von Koppelgetrieben, Übertragungswinkel).
• Festigkeit der gedruckten Teile und Servos in diesem Wiki.